Evolucion del calculo de Newton y Leibniz.

¡Hola querido usuarios! Nuestro equipo 1: Bianca, Juan Carlos y Ana Flor. Les hablaremos del descubrimiento del cálculo realizado por grandioso científicos Isaac Newton y Gotfried Wilhem Leibniz y cada una de sus aportaciones. Esperamos que este blog sea de su grande ayuda y utilidad.

Isaac Newton (1642-1727) nació el 25 de Diciembre de 1642. Sus principales ideas: Fueron desarrolladas en 1664-1666; después de la epidemia de la peste newton desarrolló sus ideas de la gravitación universal, de la teoría de los colores y sobre la serie del Binomio y el cálculo de funciones también desarrollo en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, entre otras muchas ramas más. DECUBRIMIENTOS La serie del binomio: fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Observa que el entonces conocido desarrollo de:  (a+x)n+ n/1an-1x-n(n-1)/12 an-2x2+… Newton observa que los denominadores que aparecen son los impares 1, 3, 5, 7, . . ., mientras que los numeradores son sucesivamente {1}, {1, 1}, {1, 2, 1}, {1, 3, 3, 1}, {1, 4, 6, 4, 1}, etc. Newton supone que estas series infinitas se comportan como polinomios con un número infinito de términos y a los que se les puede aplicar las reglas aritméticas usuales de suma, producto, división, extracción de raíces, etc. El proceso es interesante ya que es de alguna forma el comienzo del cálculo diferencial e integral y donde se ve el papel inverso que juegan la diferenciación y la integración. El proceso inverso, esto es, de hallar la relación entre fluentes a partir de sus fluxiones, o resolver ecuaciones diferenciales, es más complicado y no siempre funciona. Newton da como primer ejemplo 3x2x˙ − 2axx˙ + ayx˙ + axy˙ − 3y2y˙ = 0   .

Gotfried Wilhem Leibniz (1646-1716) era hijo del vice-presidente de la facultad de filosofía de la universidad de Leipzig. De joven, estudió filosofía, derecho y lenguas clásicas. ›  Su principal interés estuvo centrado en desarrollar una especie de lenguaje simbólico ›  Entre 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial e integral. Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos “R” y “d” de la integral y la diferencial.   En matemáticas su cálculo es en parte esto, un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y formulas. Las otras dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos y el llamado triangulo característico. Aparte de la invención y del desarrollo de su cálculo y en la solución de problemas geométricos y de ecuaciones diferenciales, Leibniz tiene otros trabajos en soldabilidad de ecuaciones y determinantes y escribió y contribuyo enormemente en prácticamente todos los campos del conocimiento humano.  DESCUBRIMIENTOS Sumas y diferencias. Cuando a sus 26 años conoció en 1672 a Huygens en Paris, este le planteo el problema de sumar los inversos de los números triangulares 1/1+1/3+1/6+1/4+1/3+…+2/n(n+1)+… Leibniz, tal como hizo en la suma de la serie de los inversos de los números triangulares, consideraba sumas y diferencias de sucesiones de números. Observo por ejemplo que dada la sucesión a0, a1, a2, ··· , an , si consideramos la sucesión de diferencias d1, d2, ··· , dn , donde di = ai − ai−1 . Entonces d1 + d2 + ··· + dn = (a1 − a0) + (a2 − a1) + ··· + (an − an−1) = an − a0 es decir, la suma de diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre el ultimo y el primer termino de la sucesión original. W.G. LEIBNIZ (1646-1716). La sucesión de cuadrados 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, · · · , n2 sus primeras diferencias son 1, 3, 5, 7, 9, 11, · · · , 2n − 1 Ya que i2 − (i − 1)2 = 2i − 1. Luego se sigue que la suma de los n primeros números impares es n2 1 + 3 + 5 + ··· + (2n − 1) = n2 Leibniz utiliza este método en otros casos. El cálculo de Leibniz. Leibniz no tardo en aplicar a la geometría sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes y1, y2, y3, . . . , y n

Una vez que hemos descrito con detalle separadamente las ideas de Newton y Leibniz en el desarrollo del cálculo como una nueva y coherente disciplina matemáticas vamos a comparar y contrastar ambos procedimientos.

Tal como hemos visto Newton da a conocer la derivada de y = f(x) como el Cociente entre fluxiones y˙/x˙ donde considera las fluxiones x˙ , y˙ como las velocidades en que cambian los fluentes x, y. Su concepción es cinemática. En cambio Leibniz considera el cociente anterior d y/d x como cociente entre diferencias. La Integral para Newton es una integral definida, es el fluente a determinar para una fluxión dada. Para Leibniz la integral es, en cambio, una suma infinita de diferenciales. A pesar de estas diferencias de concepto luego ambos la calculan de la misma forma, como un proceso inverso de derivadas. Ambos desarrollan el mismo cálculo desde puntos de vista distintos y observan como inversos los procesos de diferenciación e integración. Antes se habían calculado áreas, volumen y tangentes, pero eran razonamientos particulares para cada caso concreto sin que se observara con claridad que el cálculo de áreas y el de tangentes son inverso uno del otro. El nuevo cálculo es universal, en el sentido en que se aplica del mismo modo a todo tipo de funciones. Newton y Leibniz lo aplicaron con éxito para calcular áreas como la cisoide o la cicloide, tangentes, longitudes de arco, problemas de máximos y mínimos, geométricos, etc.